命題X 問題V
使一個物體在一橢圓上運行：需求趨向橢圓的中心的向心力的定律。
令CA，CB為橢圓的半軸；GP，DK為另外的共軛直徑；PF，QT垂直于直徑；Qv為附屬于直徑Gp的縱標線，且如果補足平行四邊形QvPR，則（由《圓錐截線》）矩形PvG比Qvquad.如同PCquad.比CDquad.，又（由于相似三角形QvT，PCF）Qvquad.比QTquad.如同PCquad.比PFquad.。這些比相結合，矩形PvG比QTquad.如同PCquad.比CDquad.，及PCquad.比PFquad.，亦即vG比（QTquad.）/（Pv）如同PCquad.比（CDq×PFq）/（PCq）。把Pv寫成QR，且（由引理XII）CD×PF寫成BC×CA，以及（當點P和Q重合時）把vG寫作2PC，又未項和中項彼此相乘，（QTqund×PCq）/（QR）等于（2BCq×CQq）/（PC）。所以（由命題VI系理5）向心力與（2BCq×CAq）/（PC）成反比；亦即（由于2BCq×CAq給定）與1/（PC）成反比；這就是，與距離PC成正比。此即所求。
在直線PG上點T的另一側按照Tu等于Tv取點u；然后取uV，它比vG如同DCquad.比PCquad.。又因為由《圓錐截線》，Qvquad.比PvG如同DCquad.比PCquad.，Qvquad.等于Pv×uV。兩邊加上矩形uPv，出現弧PQ的弦的平方等于矩形VPv；且因此圓，它與圓錐截線在P點相切，穿過點Q，亦穿過點V。點P與Q重合時，uV比vG之比，它與DCq比PCq之比相同，變成PV比PG或PV比2PC之比；因此PV等于（2DCq）/（PC）。是以力，由它物體P在橢圓上運行，與（2DCq）/（PC）乘以PFq成反比（由命題VI系理3），這就是（由于2DCq乘以PFq給定）與PC成正比。此即所求。 系理1 所以，力如同物體離橢圓的中心的距離；且反之，如果力如同距離，物體在其中心在力的中心的一個橢圓上運動，或者也許在圓上，橢圓能變化為圓。 系理2 且在圍繞同一中心的所有橢圓上所做的運行的循環時間相等。因為那些時間在相似的橢圓上相等（由命題IV系理3和系理8），但是在具有公共長軸的橢圓上，它們的相互之比如同整個橢圓面積的正比和同時畫出的小部分面積的反比；亦即，與短軸成正比，且與物體在主頂點（vertex principalis）的速度成反比；這就是，與那些短軸成正比，且與公共軸的同一點所屬的縱標線成反比；且所以（由于正比和反比的相等性）按照等量之比。 如果橢圓的中心跑至無窮遠，橢圓變為拋物線，物體在此拋物線上運行；現在趨向在無窮遠距離的中心的力最終相等。這是伽利略的定理。且如果圓錐的拋物線形截面（通過改變圓錐截面的傾斜）變為雙曲線，在這個［截面］邊緣運動的物體的向心力變為離心力。且正如在圓或橢圓中，如果力趨向的圖形的中心位于橫標線上，按照任意給定的比增加或減小縱橫線，或者改變縱標線對橫標線的傾斜角，這些力總按照到中心的距離的比增大或減小，只要循環時間保持相等；因此在一般的圖形中，如果縱標線按任意給定的比增大或減小，或者縱標線的傾角任意變化，保持循環時間［不變］，趨向位于任意橫標線上的中心的力，對每一條縱標線，按照離中心的距離之比增大或減小。 一個物體在一橢圓上運行；需求趨向橢圓的一個焦點的向心力的定律。 令S為橢圓的一個焦點。引SP截橢圓的直徑DK于E，又截縱標線Qv于x，再補足平行四邊形QxPR。顯然EP等于半長軸AC，如此是因為，由橢圓的另一焦點H作平行于EC自身的線HI，因CS，CH相等，ES，EI也相等，至此EP是PS，PI，亦即（因HI與PR平行，且角IPR與HPZ相等）PS，PH的和之半，它們連結起來等于整個軸2AC。向SP上落下垂線QT，稱L為橢圓的主通徑（latus rectum principale）（或 由于趨向橢圓的中心的力，由它物體P能在那個橢圓上運行，如同（由命題X系理1）物體離橢圓的中心C的距離CP；引CE平行于橢圓的切線PR；且力，由它同一物體能環繞橢圓的另外任意點S運行，如果CE和PS交于E，如同（PEcub.）/（SPq）（由命題VII 系理3），這就是，如果點S為橢圓的一個焦點，且因此PE被給定，與PSq成反比。此即所求。 這里可以一樣簡短地如問題五那樣推至拋物線和雙曲線。實在因為問題的重要性及在其后它們的應用，由證明證實另外的情形，當不會令人生厭。
另解
第III部分 論物體在偏心的圓錐截線上的運動
命題XI 問題VI
此即所求。
另解