命題XVII 問題IX
假設(shè)向心力與位置離中心的距離的平方成反比，且那個(gè)力的絕對(duì)量已知；需求［曲］線，物體從給定的位置，以給定的速度，沿給定的直線離去時(shí)畫出它。
此即所作。
系理1 因此在每一條給定主頂點(diǎn)D，通徑L，及焦點(diǎn)S的圓錐截線中，當(dāng)DH比DS取得如同通徑比通徑和4DS之間的差時(shí)，另一個(gè)焦點(diǎn)H也被給定。因?yàn)樵谶@一系理的情形，SP+PH比PH之比如同2SP+2KP比L成為DS+DH比DH如同4DS比L，且由分比，DS比DH如同4DS－L比L。
系理2 因此，如果給定一個(gè)物體在主頂點(diǎn)D的速度，軌道可便捷地被發(fā)現(xiàn)，即是，按照這個(gè)給定的速度比一個(gè)物體在距離為DS的圓形軌道上運(yùn)行的速度（由命題XVI系理3）的二次比，取其通徑比二倍的距離DS，然后取DH比DS如同通徑比通徑和4DS之間的差。
系理3 因此，如果一個(gè)物體在任意的圓錐截線上運(yùn)動(dòng)，并被無論什么樣的沖擊逐出它自己的軌道；能知道一條軌道，此后它在其上繼續(xù)自己的路程。因?yàn)橛晌矬w自身的運(yùn)動(dòng)和那個(gè)運(yùn)動(dòng)的復(fù)合，那個(gè)運(yùn)動(dòng)由沖擊單獨(dú)生成，就有了物體從所給定的受沖擊的位置沿位置給定的直線離去的運(yùn)動(dòng)。
系理4 并且，如果那個(gè)物體受到外部某個(gè)壓迫力的持續(xù)擾動(dòng)，通過收集一些點(diǎn)在引入那個(gè)力時(shí)的變化，由序列的一致性估計(jì)［物體］在中間位置的連續(xù)變化，可相當(dāng)接近地知道其路徑。
如果物體P由于趨向任意給定的點(diǎn)R的向心力在任意給定的圓錐截線的周線上運(yùn)動(dòng)，圓錐截線的中心為C，需求向心力的定律；引CG平行于半徑RP，并與軌道的切線PG交于G；則那個(gè)力（由命題X的系理1和解釋，以及命題VII的系理3）如同（CGcub.）/（RPquad.）。
如果由橢圓或雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)S，H，兩直線SV，HV向任意第三個(gè)點(diǎn)V傾斜，它們中的一條直線HV等于圖形的主軸，亦即焦點(diǎn)所位于的軸；另一條［直線］SV被垂直落在它上面的TR平分于T；那條垂線TR與圓錐截線在某處相切；并且反之亦然，如果相切，則HV等于圖形的主軸。第IV部分 論由給定的焦點(diǎn)，求橢圓形、拋物線形和雙曲線形軌道
引理 XV
此即所證。