引理 XIX
求點P，如果由它向數目相同的，位置給定的直線AB，CD，AC，BD以給定的角引四條直線PQ，PR，PS，PT，一條直線對一條直線，所引的二條直線［PQ，PR］之下的矩形PQ×PR比所引的另外兩條直線［PS，PT］之下的矩形PS×PT，按照給定的比。
設直線AB，CD，往它們所引的兩直線PQ，PR包含矩形中的一個，與其他位置給定的兩條直線交于A，B，C，D。從它們之中的A作任意直線AH，你期望在其上找到點P。它截相對的直線BD，CD，即截BD于H且截CD于I，又因圖形的所有角被給定，PQ比PA和PA比PS之比被給定，因此PQ比PS之比亦被給定。從給定的比PQ×PR比PS×PT中移去這個比，PR比PT之比被給定，又添加上給定的比PI比PR和PT比PH，PI比PH之比被給定，因此點P亦被給定。此即所求。
系理2 因此，也能確定所有點P的軌跡。經任意點A，B，C，D，設為A，引軌跡的切線AE，又過另外任意一點B引平行于切線的BF交軌跡于F。由引理XIX發現點F。BF平分于G，所作的不定直線AG在直徑的位置上，BG和GF為附屬于它的縱標線。這個AG交軌跡于H，則AH是直徑或者橫截徑（latus transversum），通徑比它如同BGq比AG×GH。若AG不與軌跡相交，直線AH無限延伸，軌跡為拋物線，其對應于直徑AG的通徑為（BGq）/（AG）。如果它與軌跡交于某處，當點A和H在G的同側時，軌跡為雙曲線；當G在中間時，為橢圓，除非角AGB為直角，并且BGquad.等于矩形AGH，在這種情況下軌跡為圓。