命題XXXI 問(wèn)題XXIII
一個(gè)物體在一條給定的橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)，對(duì)指定的時(shí)間求位置。
設(shè)橢圓APB的主頂點(diǎn)為A，焦點(diǎn)為S，且O為中心，又設(shè)P為要發(fā)現(xiàn)的物體的位置。延長(zhǎng)OA至G，使得OG比OA如同OA比OS。豎立垂線(xiàn)GH，且以中心O和間隔OG畫(huà)一圓GEF，它在作為底的尺子GH上方，輪子GEF圍繞自身的軸滾動(dòng)前進(jìn)，且在此期間它的點(diǎn)A畫(huà)出次擺線(xiàn)ALI。既成之后，取GK，按照它比輪子的周長(zhǎng)GEFG，如同一段時(shí)間，在此期間自A前進(jìn)的物體畫(huà)出弧AP，比物體在橢圓上運(yùn)行一周的時(shí)間之比。豎立垂線(xiàn)KL交次擺線(xiàn)于L，又引LP平行于KG交橢圓于需求的物體的位置P。
此即所證。
假設(shè)向心力與位置離中心的距離的平方成反比，確定空間，它由直線(xiàn)下落的一個(gè)物體在給定的時(shí)間畫(huà)出。 情形1 如果物體不豎直下落，此物體（由命題XIII系理1）畫(huà)出其焦點(diǎn)與力的中心重合的圓錐截線(xiàn)。設(shè)那條圓錐截線(xiàn)為ARPB，其焦點(diǎn)為S。首先，如果圖形為一個(gè)橢圓；在它的長(zhǎng)軸AB上畫(huà)半圓ADB，又直線(xiàn)DPC經(jīng)過(guò)下落物體垂直于軸；再作DS，PS，面積ASD與面積ASP成比例，且因此亦與時(shí)間成比例。保持軸AB持續(xù)減小橢圓的寬度，則面積ASD總保持與時(shí)間成比例。那個(gè)寬度被減小以至無(wú)窮：現(xiàn)在軌道APB與軸AB，且焦點(diǎn)S與軸的端點(diǎn)B重合，物體在直線(xiàn)AC上下落，面積ABD變得與時(shí)間成比例。且因此空間AC被給定，物體由位置A豎直下落，在給定的時(shí)間畫(huà)出這一空間，只要面積ABD取得與時(shí)間成比例，且由點(diǎn)D往直線(xiàn)AB上落下垂線(xiàn)DC。此即所求。第VII部分 論物體的直線(xiàn)上升和下降
命題XXXII 問(wèn)題XXIV
情形2 如果那個(gè)圖形RPB為雙曲線(xiàn)，對(duì)同樣的主直徑AB畫(huà)直角雙曲線(xiàn)（hyperbola rectangula）BED；且因?yàn)槊娣eCSP，CBfP，SPfB比面積CSD，CBED，SDEB，一個(gè)對(duì)一個(gè)，按照高度CP，CD的給定的比；又面積SPfB與時(shí)間成比例，在此期間物體P的運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)弧PfB；面積SDEB亦與同樣的時(shí)間成比例。減小雙曲線(xiàn)RPB的通徑以至無(wú)窮并保持橫截徑，則弧PB與直線(xiàn)CB，且焦點(diǎn)S與頂點(diǎn)B，以及直線(xiàn)SD與直線(xiàn)BD重合。因此，面積BDEB與時(shí)間成比例，在此期間物體C豎直下落畫(huà)出直線(xiàn)CB。此即所求。
情形3 由類(lèi)似的論證，如果圖形RPB為一條拋物線(xiàn)，且由同樣的主頂點(diǎn)B畫(huà)出另一條拋物線(xiàn)BED，它在前一拋物線(xiàn)，即物體P在其周線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)的拋物線(xiàn)的通徑減小并縮為零，曲線(xiàn)變?yōu)橹本€(xiàn)CB期間，總它保持給定；拋物弓形BDEB與時(shí)間成比例，在此期間那個(gè)物體P或者C落向中心S或者B。此即所求。