命題XXXIII 定理IX

假設［以上的結果］今已求得，我說下落物體在任意位置C的速度比物體畫出中心為B，間隔為BC的圓的速度，按照AC，物體離圓或者直角雙曲線的那邊的頂點A的距離，比圖形的主半直徑12AB的二分之一次比。

設兩個圖形RPB，DEB的公共直徑AB被平分于O；并引直線PT，它切圖形RPB于P，又截那條公共直徑AB（必要時延長之）于T，SY與這條切線，又BQ與這條直徑垂直，圖形RPB的通徑假設為L。由命題XVI的系理9，顯然，物體在圍繞中心S的曲線RPB上任意位置P的運動速度比物體圍繞同一中心，畫出間隔為SP的圓的速度按照矩形 圓錐截線》，ACB比CP_q如同2AO比L，且因此（2CP_q×AO）/（ACB）等于L。所以那些速度彼此之比按照（CP_q×AO×SP）/（ACB）比SY_quad.的二分之一次比。再者，由《圓錐截線》，CO比BO如同BO比TO，由合比或者分比，如同CB比BT。或者由分比，或者由合比，BO－或者+CO比BO如同CT比BT，亦即，AC比AO如同CP比BQ；且因此（CP_q×AO×SP）/（ACB）等于（BQ_q×AC×SP）/（AO×BC）。現在圖形RPB的寬度CP被減小以至無窮，使點P與點C，點S與點B，且直線SP與直線BC，直線SY與直線BQ重合；現在物體在直線CB上豎直下落的速度比物體畫出中心為B，間隔為BC的圓的速度，按照（BQ_q×AC×SP）/（AO×BC）比SY_q的二分之一次比，這就是（忽略等量之比SP比BC和BQ_q比SY_q）按照AC比AO或者 此即所證。

系理1 點B與S重合時，TC比TS變成如同AC比AO。

系理2 一個物體在離中心的距離給定的任意圓上運行，當它自身的運動轉化為向上的運動時，將上升到兩倍于它自己離中心的距離。