1.2 微型計(jì)算機(jī)運(yùn)算基礎(chǔ)
1.2.1 二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算方法
計(jì)算機(jī)具有強(qiáng)大的運(yùn)算能力，它可以進(jìn)行兩種運(yùn)算：算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算。
1.二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算
二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算包括：加、減、乘、除四則運(yùn)算，下面分別予以介紹。
（1）二進(jìn)制數(shù)的加法
根據(jù)“逢二進(jìn)一”規(guī)則，二進(jìn)制數(shù)加法的法則如下：
0+0=0
0+1=1+0=1
1+1=0 （進(jìn)位為1）
1+1+1=1 （進(jìn)位為1）
例如，1110和1011相加過(guò)程如下：
（2）二進(jìn)制數(shù)的減法
根據(jù)“借一有二”的規(guī)則，二進(jìn)制數(shù)減法的法則如下：
0-0=0
1-1=0
1-0=1
0-1=1 （借位為1）
例如，1101減去1011的過(guò)程如下：
（3）二進(jìn)制數(shù)的乘法
二進(jìn)制數(shù)乘法過(guò)程可仿照十進(jìn)制數(shù)乘法進(jìn)行。但由于二進(jìn)制數(shù)只有0或1兩種可能的乘數(shù)位，使得二進(jìn)制數(shù)乘法更為簡(jiǎn)單。二進(jìn)制數(shù)乘法的法則如下：
0×0=0
0×1=1×0=0
1×1=1
例如，1001和1010相乘的過(guò)程如下：
由低位到高位，用乘數(shù)的每一位去乘被乘數(shù)，若乘數(shù)的某一位為1，則該次部分積為被乘數(shù)；若乘數(shù)的某一位為0，則該次部分積為0。某次部分積的最低位必須和本位乘數(shù)對(duì)齊，所有部分積相加的結(jié)果則為相乘得到的乘積。
（4）二進(jìn)制數(shù)的除法
二進(jìn)制數(shù)除法與十進(jìn)制數(shù)除法類(lèi)似。可先從被除數(shù)的最高位開(kāi)始，將被除數(shù)（或中間余數(shù)）與除數(shù)相比較，若被除數(shù)（或中間余數(shù)）大于除數(shù)，則用被除數(shù)（或中間余數(shù)）減去除數(shù)，商為1，并得到相減之后的中間余數(shù)，否則商為0。再將被除數(shù)的下一位移下補(bǔ)充到中間余數(shù)的末位，重復(fù)以上過(guò)程，就可得到所要求的各位商數(shù)和最終的余數(shù)。
例如，100110÷110的過(guò)程如下：
所以，100110÷110=110余10。
2.二進(jìn)制數(shù)的邏輯運(yùn)算
二進(jìn)制數(shù)的邏輯運(yùn)算包括邏輯加法（“或”運(yùn)算）、邏輯乘法（“與”運(yùn)算）、邏輯否定（“非”運(yùn)算）和邏輯“異或”運(yùn)算。
（1）邏輯“或”運(yùn)算
邏輯“或”運(yùn)算又稱(chēng)為邏輯加，可用符號(hào)“+”或“∨”來(lái)表示，規(guī)則如下：
0+0=0或0∨0=0
0+1=1或0∨1=1
1+0=1或1∨0=1
1+1=1或1∨1=1
可見(jiàn)，兩個(gè)相“或”的邏輯變量中，只要有一個(gè)為1，“或”運(yùn)算的結(jié)果就為1。僅當(dāng)兩個(gè)變量都為0時(shí)，“或”運(yùn)算的結(jié)果才為0。計(jì)算時(shí)，要特別注意和算術(shù)運(yùn)算的加法加以區(qū)別。
（2）邏輯“與”運(yùn)算
邏輯“與”運(yùn)算又稱(chēng)為邏輯乘，常用符號(hào)“×”、“·”或“∧”表示，規(guī)則如下：
0×1=0或0·1=0或0∧1=0
1×0=0或1·0=0或1∧0=0
1×1=1或1·1=1或1∧1=1
可見(jiàn)，兩個(gè)相“與”的邏輯變量，只要有一個(gè)為0，“與”運(yùn)算的結(jié)果就為0。僅當(dāng)兩個(gè)變量都為1時(shí)，“與”運(yùn)算的結(jié)果才為1。
（3）邏輯“非”運(yùn)算
邏輯“非”運(yùn)算又稱(chēng)為邏輯否定，實(shí)際上就是將原邏輯變量的狀態(tài)求反，規(guī)則如下：
可見(jiàn)，在變量的上方加一條橫線表示“非”。當(dāng)邏輯變量為0時(shí)，“非”運(yùn)算的結(jié)果為1；當(dāng)邏輯變量為1時(shí)，“非”運(yùn)算的結(jié)果為0。
（4）邏輯“異或”運(yùn)算
邏輯“異或”運(yùn)算，常用符號(hào)“⊕”或“?”來(lái)表示，規(guī)則如下：
0⊕0=0或0?0=0
0⊕1=1或0?1=1
1⊕0=1或1?0=1
1⊕1=0或1?1=0
可見(jiàn)，當(dāng)兩個(gè)相“異或”的邏輯變量取值相同時(shí)，“異或”的結(jié)果為0；當(dāng)取值相異時(shí)，“異或”的結(jié)果為1。
以上僅就邏輯變量只有1位的情況得到了邏輯“與”、“或”、“非”、“異或”運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則。當(dāng)邏輯變量為多位時(shí)，可在兩個(gè)邏輯變量對(duì)應(yīng)位之間按上述規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算。特別注意，所有的邏輯運(yùn)算都是按位進(jìn)行的，位與位之間沒(méi)有任何聯(lián)系，即不存在算術(shù)運(yùn)算過(guò)程中的進(jìn)位或借位關(guān)系。下面舉例說(shuō)明。
【例1.1】 兩個(gè)變量的取值為X=00FFH，Y=5555H，分別求Z1=X∧Y，Z2=X∨Y，Z4=X⊕Y的值。
解：X=0000000011111111B
Y=0101010101010101B
則 Z1=0000000001010101B=0055H
Z2=0101010111111111B=55FFH
Z3=1111111100000000B=FF00H
Z4=0101010110101010B=55AAH
計(jì)算機(jī)二進(jìn)制數(shù)算術(shù)運(yùn)算及邏輯運(yùn)算規(guī)則見(jiàn)表1.4。
表1.4 二進(jìn)制數(shù)運(yùn)算規(guī)則一覽表
在計(jì)算機(jī)中需要處理的數(shù)據(jù)包括無(wú)符號(hào)數(shù)和有符號(hào)數(shù)。這些數(shù)在計(jì)算機(jī)中是如何表示的？
1.無(wú)符號(hào)數(shù)
所謂無(wú)符號(hào)數(shù)，通常表示一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，即數(shù)的各位都用來(lái)表示數(shù)值的大小。1字節(jié)（8位）二進(jìn)制數(shù)只能表示0～255范圍內(nèi)的數(shù)。因此，要表示大于255的數(shù)，必須采用多字節(jié)來(lái)表示，它的長(zhǎng)度可以為任意倍字節(jié)長(zhǎng)，其數(shù)據(jù)格式如圖1.1所示。
2.有符號(hào)數(shù)
所謂有符號(hào)數(shù)，即用來(lái)表示一個(gè)任意位長(zhǎng)的正數(shù)或負(fù)數(shù)。我們知道，在普通數(shù)字中，區(qū)分正負(fù)數(shù)是通過(guò)在數(shù)的絕對(duì)值前面加上符號(hào)來(lái)表示的，即“+”表示正數(shù)，“-”表示負(fù)數(shù)。在計(jì)算機(jī)中，數(shù)的符號(hào)也數(shù)碼化了，一般用一個(gè)數(shù)的最高位作為符號(hào)位，用“0”表示正號(hào)，用“1”表示負(fù)號(hào)，而其余位為數(shù)值位。其數(shù)據(jù)格式如圖1.2所示。
3.有符號(hào)數(shù)的原碼、反碼、補(bǔ)碼及補(bǔ)碼運(yùn)算
帶正、負(fù)號(hào)的二進(jìn)制數(shù)稱(chēng)為數(shù)的真值表示。
例如：X=+1010110B，Y=-0110101B
為了運(yùn)算方便，計(jì)算機(jī)中的有符號(hào)數(shù)有三種表示方法，即原碼、反碼和補(bǔ)碼，稱(chēng)為機(jī)器數(shù)。
（1）原碼
正數(shù)的符號(hào)位用“0”表示，負(fù)數(shù)的符號(hào)位用“1”表示，其余數(shù)字位表示數(shù)值本身，這種表示法稱(chēng)為原碼。
前例X、Y可表示為：
[X]原=01010110B，[Y]原=10110101B
對(duì)于0，可以認(rèn)為它是+0，也可以認(rèn)為它是-0。因此在原碼中，0有下列兩種表示：
[+0]原=00000000B，[-0]原=10000000B
原碼表示數(shù)的方法很簡(jiǎn)單，只需要在真值的基礎(chǔ)上，將符號(hào)位用數(shù)碼“0”和“1”表示即可。但采用原碼表示的數(shù)在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行加、減運(yùn)算時(shí)很麻煩。例如：遇到兩個(gè)異號(hào)數(shù)相加或兩個(gè)同號(hào)數(shù)相減時(shí)，就要用減法運(yùn)算。為了把減法運(yùn)算轉(zhuǎn)變成加法運(yùn)算，引入了反碼和補(bǔ)碼。
（2）反碼
在原碼表示的基礎(chǔ)上很容易求得一個(gè)數(shù)的反碼。正數(shù)的反碼與原碼相同，而負(fù)數(shù)的反碼則是在原碼的基礎(chǔ)上，符號(hào)位不變（仍為1），其余數(shù)位按位求反，即0→1，1→0。
前例X、Y可表示為：
[X]反=01010110B，[Y]反=11001010B
而 [+0]反=00000000B，[-0]反=11111111B
（3）補(bǔ)碼
一個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼也很容易求得。如果是正數(shù)，補(bǔ)碼同原碼也同反碼，如果是負(fù)數(shù)，則在反碼的基礎(chǔ)上最末位加1。
前例X、Y可表示為：
[X]補(bǔ)=01010110B=[X]反=[X]原，[Y]補(bǔ)=11001011B
注：補(bǔ)碼中0只有一種表示，無(wú)正負(fù)之分，即
[+0]補(bǔ)=[-0]補(bǔ)=00000000B
不難證明，補(bǔ)碼具有如下特性：
[[X]補(bǔ)]補(bǔ)=[X]原
用8位二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示無(wú)符號(hào)數(shù)及有符號(hào)數(shù)的原碼、反碼、補(bǔ)碼時(shí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)表1.5。
表1.5 用8位二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示無(wú)符號(hào)數(shù)及有符號(hào)數(shù)的原碼、反碼、補(bǔ)碼時(shí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系
（4）補(bǔ)碼運(yùn)算
兩個(gè)用補(bǔ)碼表示的有符號(hào)數(shù)進(jìn)行加、減運(yùn)算時(shí)，其特點(diǎn)是把符號(hào)位上表示正、負(fù)的“0”和“1”也看成數(shù)，與數(shù)值部分一同進(jìn)行運(yùn)算，所得的結(jié)果也為補(bǔ)碼形式。即結(jié)果的符號(hào)位為“0”，表示正數(shù)；結(jié)果的符號(hào)位為“1”，表示負(fù)數(shù)。下面分加、減兩種情況予以討論。
兩個(gè)有符號(hào)數(shù)X和Y進(jìn)行相加時(shí)，先將兩個(gè)數(shù)分別轉(zhuǎn)換為補(bǔ)碼的形式，然后進(jìn)行補(bǔ)碼加運(yùn)算，所得的結(jié)果為和的補(bǔ)碼形式，即：
[X+Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)
【例1.2】 用補(bǔ)碼進(jìn)行下列運(yùn)算：
① （+18）+（-15）；②（-18）+（+15）；③（-18）+（-11）。
解：
由例1.2可知，當(dāng)帶符號(hào)的數(shù)采用補(bǔ)碼形式進(jìn)行相加運(yùn)算時(shí)，可把符號(hào)位也當(dāng)作普通數(shù)字一樣與數(shù)值部分一起進(jìn)行加法運(yùn)算。若符號(hào)位上產(chǎn)生進(jìn)位時(shí)，則自動(dòng)丟掉，所得的結(jié)果為兩數(shù)之和的補(bǔ)碼形式。如果想得到運(yùn)算后原碼的結(jié)果，可對(duì)運(yùn)算結(jié)果再求一次補(bǔ)碼即可。
兩個(gè)有符號(hào)數(shù)相減，可通過(guò)下面的公式進(jìn)行：
X-Y=X+（-Y）
則 [X-Y]補(bǔ)=[X+（-Y）]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)
可見(jiàn)，求[X-Y]補(bǔ)，可以用[X]補(bǔ)和[-Y]補(bǔ)相加來(lái)實(shí)現(xiàn)。這里關(guān)鍵在于求[-Y]補(bǔ)。如果已知[Y]補(bǔ)，那么對(duì)[Y]補(bǔ)的每位（包括符號(hào)位）都按位求反，然后末位加1，結(jié)果即為[-Y]補(bǔ)（證明略）。一般稱(chēng)[-Y]補(bǔ)為對(duì)[Y]補(bǔ)的“變補(bǔ)”，即[[Y]補(bǔ)]變補(bǔ)=[-Y]補(bǔ)；已知[Y]補(bǔ)求[-Y]補(bǔ)的過(guò)程稱(chēng)為變補(bǔ)。
這樣，求兩個(gè)帶符號(hào)的二進(jìn)制數(shù)之差，可以用“減數(shù)（補(bǔ)碼）變補(bǔ)與被減數(shù)（補(bǔ)碼）相加”來(lái)實(shí)現(xiàn)。這是補(bǔ)碼表示法的主要優(yōu)點(diǎn)之一。
【例1.3】 用補(bǔ)碼進(jìn)行下列運(yùn)算：
① 96-19； ② （-56）-（-17）。
解：① X=96，Y=19，則
[X]補(bǔ)=01100000
[Y]補(bǔ)=00010011
[-Y]補(bǔ)=11101101
故 [X-Y]補(bǔ)=[X-Y]原=01001101=+77
② X=-56，Y=-17，則
[X]補(bǔ)=11001000
[Y]補(bǔ)=11101111
[-Y]=00010001補(bǔ)
則 [X-Y]補(bǔ)=11011001
故 [X-Y]原=[[X-Y]補(bǔ)]補(bǔ)=10100111=-39
綜上所述，對(duì)于補(bǔ)碼的加、減運(yùn)算可用下邊一般公式表示：
[X±Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[±Y]補(bǔ)（|X|，|Y|及|X±Y都小于2n+1）
（5）溢出判斷
當(dāng)兩個(gè)有符號(hào)數(shù)進(jìn)行補(bǔ)碼運(yùn)算時(shí)，若運(yùn)算結(jié)果的絕對(duì)值超出運(yùn)算裝置容量，數(shù)值部分就會(huì)發(fā)生溢出，占據(jù)符號(hào)位的位置，導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。這種現(xiàn)象通常稱(chēng)為補(bǔ)碼溢出，簡(jiǎn)稱(chēng)溢出。這和正常運(yùn)算時(shí)符號(hào)位的進(jìn)位自動(dòng)丟失在性質(zhì)上是不同的。下面舉例說(shuō)明。
【例如1.4】 某運(yùn)算裝置共有5位，除最高位表示符號(hào)位外，還有4位用來(lái)表示數(shù)值。先看下面兩組運(yùn)算。
① 計(jì)算13+7=？
② 計(jì)算（-4）+（-4）=？
① 數(shù)的運(yùn)算結(jié)果顯然是錯(cuò)誤的，因?yàn)閮蓚€(gè)正數(shù)相加不可能得到負(fù)數(shù)的結(jié)果，產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是由于兩個(gè)數(shù)相加后的數(shù)值超出了加法裝置所允許位數(shù)（數(shù)值部分4位），因而從數(shù)值的最高位向符號(hào)位產(chǎn)生了進(jìn)位，或者說(shuō)這種現(xiàn)象是由于“溢出”而造成的。②的結(jié)果顯然是正確的，由符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位自動(dòng)丟失。
為了保證運(yùn)算結(jié)果的正確性，計(jì)算機(jī)必須能夠判別出是正常進(jìn)位還是發(fā)生了溢出錯(cuò)誤。計(jì)算機(jī)中常用的溢出判別稱(chēng)為雙高位判別法，并常用“異或”電路來(lái)實(shí)現(xiàn)溢出判別。其表達(dá)式為：
CS⊕CP=1（表示發(fā)生了溢出錯(cuò)誤）
式中，
CS——最高位（符號(hào)位）產(chǎn)生進(jìn)位的情況。CS=1，有進(jìn)位；CS=0，無(wú)進(jìn)位。
CP——次高位（數(shù)值部分最高位）向符號(hào)位產(chǎn)生進(jìn)位的情況。CP=1，有進(jìn)位；CP=0，無(wú)進(jìn)位。
由表達(dá)式可知，在運(yùn)算結(jié)果中，當(dāng)CS和CP狀態(tài)不同（為01或10）時(shí)，產(chǎn)生溢出；在運(yùn)算結(jié)果中，當(dāng)CS和CP狀態(tài)相同（為00或11）時(shí)，不產(chǎn)生溢出。
發(fā)生溢出時(shí)，CSCP=01為正溢出，通常出現(xiàn)在兩個(gè)正數(shù)相加時(shí)；CSCP=10為負(fù)溢出，通常出現(xiàn)在兩個(gè)負(fù)數(shù)相加時(shí)。考察上面的兩例。當(dāng)CS⊕CP=0⊕1=1時(shí)，有溢出，為正溢出。當(dāng)CS⊕CP=1⊕1=0時(shí)，無(wú)溢出，從而可知，一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)相加時(shí)，它們的和肯定不會(huì)發(fā)生溢出。下面舉例說(shuō)明溢出判別。
【例1.5】 計(jì)算64+65=？
由于CS⊕CP=0⊕1=1產(chǎn)生溢出，并且是正溢出，導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果出錯(cuò)。
【例1.6】 計(jì)算-110-92=？
由于CS⊕CP=1⊕0=1，產(chǎn)生溢出，并且是負(fù)溢出，結(jié)果出錯(cuò)。
【例1.7】 計(jì)算-117+121=？
一個(gè)負(fù)數(shù)和一個(gè)正數(shù)相加，結(jié)果不溢出。此時(shí)，CS⊕CP=1⊕1=0。
1.2.3 數(shù)的編碼方法
在計(jì)算機(jī)中，所有用到的數(shù)字、字母、符號(hào)、指令等都必須用特定的二進(jìn)制碼來(lái)表示，這就是二進(jìn)制編碼。
1.二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制數(shù)
計(jì)算機(jī)只能識(shí)別二進(jìn)制數(shù)，但人們熟悉的卻是十進(jìn)制數(shù)。所以在計(jì)算機(jī)輸入和輸出數(shù)據(jù)時(shí)，往往采用十進(jìn)制數(shù)表示。不過(guò)，這樣的十進(jìn)制數(shù)是用二進(jìn)制編碼表示的，稱(chēng)為二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制數(shù)——BCD（binary code decimal）碼。
用二進(jìn)制數(shù)為十進(jìn)制數(shù)編碼，每位十進(jìn)制數(shù)需要用4位二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示。4位二進(jìn)制數(shù)共有16種編碼形式，由于十進(jìn)制數(shù)只有0～9共10個(gè)數(shù)碼，故有6個(gè)編碼是多余的，放棄不用。而這種多余性便產(chǎn)生了多種不同的BCD碼。在計(jì)算機(jī)中較常用的是8421 BCD碼（在以后的章節(jié)中簡(jiǎn)稱(chēng)為BCD碼）。這種BCD碼用4位二進(jìn)制數(shù)表示1位十進(jìn)制數(shù)的數(shù)碼0～9，權(quán)值從高位到低位依次為8，4，2，1。BCD編碼見(jiàn)表1.6。
表1.6 8421 BCD碼編碼表
（1001000101110101）8421 BCD=（9175）10
2.字母與符號(hào)的編碼
在計(jì)算機(jī)中，字母和符號(hào)也必須用特定的二進(jìn)制編碼來(lái)表示。目前，在計(jì)算機(jī)、通信設(shè)備及儀器儀表中廣泛采用的是美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼（ASCII，American standard code for information interchange）。它用7位二進(jìn)制編碼表示一個(gè)字母或符號(hào)，共能表示27=128個(gè)不同的字符。其中包括數(shù)字0～9、英文大寫(xiě)字母、英文小寫(xiě)字母、運(yùn)算符、標(biāo)點(diǎn)及其他的一些控制符號(hào)。常用的7位ASCII碼見(jiàn)表1.7。
表1.7 美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼ASCII編碼
數(shù)字9的ASCII碼為0111001B或39H，
字母A的ASCII碼為1000001B或41H。
ASCII編碼多用于微型計(jì)算機(jī)的輸入/輸出設(shè)備（如電傳打字機(jī)）及在數(shù)據(jù)傳送過(guò)程中進(jìn)行奇偶校驗(yàn)。