引理 VII

在同樣的假設下，我說弧、弦和切線彼此的最終比是等量之比。

因為當點B靠近點A時，總認為AB和AD延長到在遠處的點b和d，引bd平行于截段BD。又，弧Acb總相似于弧ACB。當點A，B重合時，由上一引理，角dAb消失；且因此有限的直線Ab，Ad和居于它們中間的弧Acb重合，所以相等。因此總與［Ab，Ad和Acb］成比例的直線AB，AD，和居于它們中間的弧ACB消失，且它們最終具有等量之比。此即所證。

系理1 因此，如果通過B引平行于切線的［直線］BF與過A的任意直線交于F，這個BF與消失的弧ACB的最終比為等量之比，因為如果補足平行四邊形AFBD，BF比AD總是等量之比。

系理2 如果通過B和A引另外的直線BE，BD，AF和AG與切線AD及其平行線BF相截，則所有線段AD，AE，BF和BG以及弦AB與弧AB彼此的最終比為等量之比。

系理3 因此，這些線段在任何關于最終比的論證中可以相互替換。