情形2 給定焦點(diǎn)S，要畫出一條軌道，它與兩直線TR，tr在某處相切。由焦點(diǎn)向切線上落下垂線ST，St，并延長它們至V，v，使得TV，tv［分別］等于TS，tS，Vv平分于O，并豎立無限的垂線OH，無限延長的直線VS在K和k被截，使得VK比KS和Vk比kS如同所要畫的軌道的主軸比其焦點(diǎn)之間的距離。在直徑Kk上畫圓截OH于H；并由焦點(diǎn)S，H，等于VH的主軸，軌道被畫出。我說圖已做出。因?yàn)槠椒諯k于X，并連結(jié)HX，HS，HV，Hv。因?yàn)閂K比KS如同Vk比kS；并由合比，如同VK+Vk比KS+kS；再由分比，如同Vk－VK比kS－KS，亦即，如同2VX比2KX和2KX比2SX，因此，如同VX比HX和HX比SX，于是三角形VXH和HXS相似，且所以VH比SH如同VX比XH，因此，如同VK比KS。所以畫出的軌道的主軸VH比其焦點(diǎn)之間的距離SH的比，與所要畫的軌道的主軸比其焦點(diǎn)之間的距離所具有的比是相同的，因此是相同的種類。此外，由于VH，vH等于主軸，且VS，vS被直線TR，tr垂直平分，顯然（由引理XV）那些直線與所畫出的軌道相切。
情形3 給定焦點(diǎn)S，要畫出一條軌道，它與直線TR在給定的點(diǎn)R相切。在直線TR上落下垂線ST，延長它至V，使得TV等于ST。連接VR，無限延長的直線VS在K和k被截，使得VK比SK和Vk比Sk如同所要畫的軌道的主軸比其焦點(diǎn)之間的距離；且在直徑Kk上畫圓截延長的直線VR于H，并由焦點(diǎn)S，H，等于直線VH的主軸，軌道被畫出。我說圖已做出。因VH比SH如同VK比SK，因此如同所要畫的軌道的主軸比其焦點(diǎn)之間的距離，由第二種情形的證明，這是顯然的，所以所畫出的軌道與所要畫的軌道的種類是相同的，由于角VRS被直線TR平分，它與軌道在點(diǎn)R相切，由《
圓錐截線》這是顯然的。
此即所作。
情形4 對(duì)于焦點(diǎn)S，現(xiàn)在要畫出軌道APB，它與直線TR相切，且經(jīng)過切線外任意給定的點(diǎn)P，相似于以主軸ab和焦點(diǎn)s，h所畫的圖形apb。在切線TR上落下垂線ST，并延長它至V，使得TV等于ST。再作角hsq，shq等于角VSP，SVP；且以q為中心，以比ab如同SP比VS的間隔畫圓，截圖形apb于p。連結(jié)sp并引SH，它比sh如同SP比sp，構(gòu)作角PSH等于角psh以及角VSH等于角psq。此后，由焦點(diǎn)S，H，和等于距離VH的主軸AB，圓錐截線被畫出。我說圖已做出。因?yàn)椋绻齭v，它比sp如同sh比sq，構(gòu)作角vsp等于角hsq以及角vsh等于角psq，三角形svh，spq是相似的，且所以vh比pq如同sh比sq，亦即（因三角形VSP與bsq相似）如同VS比SP或ab比pq。所以vh和ab相等。此外，由于三角形VSH與vsh相似，VH比SH如同vh比sh，亦即，現(xiàn)在所畫出的圓錐截線的軸比其焦點(diǎn)之間的間隔，如同軸ab比焦點(diǎn)之間的間隔sh；所以現(xiàn)在畫出的圖形與圖形apb相似。然而，這一圖形經(jīng)過點(diǎn)P，因?yàn)槿切蜳SH相似于三角形psh；且因VH等于圖形的軸，又VS被直線TR垂直平分，此圖形與直線TR相切。
此即所作。