命題XXII 問題XIV
經過五個給定的點畫出一條軌道。
設五個點A，B，C，P，D被給定。由它們中的某一點A往另外兩個任意點B，C，它們被稱為極，作直線AB，AC，又過第四點P引與這些直線平行的線TPS，PRQ。然后由兩極B，C引過第五點D的兩條無窮直線BDT，CRD，與最新引的TPS，PRQ（前者交前者且后者交后者）交于T和R。最后，對于直線PT，PR，作直線tr平行于TR，所截下的任意的Pt，Pr與PT，PR成比例；且如果過它們的端點t，r和極B，C作［直線］Bt，Cr交于d，那個點d位于所求的軌道上。因為那個點d（由引理XX）位于經過四點A，B，C，P的圓錐截線上；且直線Rr，Tt消失時，點d與點D重合。所以圓錐截線穿過五個點A，B，C，P，D。此即所證。
在給定的點中連結任意的三點A，B，C；且圍繞它們中作為極的兩點B，C，轉動大小給定的角ABC，ACB，先應用股BC，CA于點D，然后用于點P，并標記點M，N，另兩股BL，CL在每一情形在那里交叉。引無窮直線MN，并圍繞它們的極B，C轉動那些動角，使得股BL，CL或者BM，CM的交叉，它現在是m，總落在那條無窮直線MN上；且股BA，CA，或者BD，CD的交叉，它現在是d，畫出所求的軌道PADdB。因為點d（由引理XXI）位于過點B，C的圓錐截線上；且當點m靠近點L，M，N時，點d（由作法）靠近點ADP。因此經過五個點A，B，C，P，D的圓錐截線被畫出。此即所作。
系理1 因此，能便捷地引一直線，它與所得到的軌道在任何給定的點B相切。點d前進到點B，直線Bd將成為所求的切線。
連結BP使前一作法變得更為簡單，且那條直線，如果需要，則延長之，在其上取Bp比BP如同PR比PT；又過p引無窮直線pe與SPT平行，并在pe之上總取pe等于Pr；再引直線Be，Cr交于d。因為，由于Pr比Pt，PR比PT，pB比PB，pe比Pt按照相同的比；pe和Pr總相等。由這個方法發現軌道的點最為便捷，除非你愿意用機械的方法畫出曲線，如按照第二種作法。